Fonction composée - comprendre l’ordre, le domaine et la dérivée

Une expression comme ln(3x² + 1) ou √(2x - 5) paraît parfois plus compliquée qu’elle ne l’est réellement. Elle correspond souvent à une fonction appliquée au résultat d’une autre. Je vais montrer comment reconnaître cette structure, calculer son domaine de définition, éviter les erreurs d’ordre et utiliser la règle de dérivation en chaîne.

Comprendre ce qui se passe dans une fonction composée

Une fonction composée associe deux transformations. Une première fonction agit sur x, puis une seconde agit sur le résultat obtenu. Si g(x) transforme x en une nouvelle valeur et si f transforme cette valeur, on écrit (f ∘ g)(x) = f(g(x)).

La lecture se fait de droite à gauche. Dans f ∘ g, je calcule d’abord g(x), puis j’utilise cette réponse comme entrée de f. Cette convention est essentielle, car le symbole rond ne signifie pas une multiplication.

Un exemple simple

Prenons g(x) = 2x - 1 et f(u) = u². Alors g transforme x en 2x - 1, puis f élève cette expression au carré. On obtient donc (f ∘ g)(x) = (2x - 1)².

Pour x = 3, le calcul suit deux étapes. D’abord g(3) = 5, puis f(5) = 25. La valeur finale est donc 25, et non pas 2 × 3 - 1². Les parenthèses permettent de conserver la bonne structure.

Calculer l’expression et son domaine de définition

Pour calculer une composée, je procède toujours en deux temps. J’identifie la fonction intérieure, c’est-à-dire celle qui agit la première, puis je remplace sa variable dans la fonction extérieure.

1. Repérer l’expression qui se trouve à l’intérieur.
2. La considérer comme une nouvelle variable.
3. La remplacer dans la fonction extérieure.
4. Vérifier les restrictions de définition.

Avec une racine carrée

Soit f(u) = √u et g(x) = 2x - 5. La composée donne f(g(x)) = √(2x - 5). Comme une racine carrée réelle exige un nombre positif ou nul, il faut résoudre 2x - 5 ≥ 0.

Le domaine est donc [5/2 ; +∞[. Cette vérification n’est pas secondaire. Une formule peut être algébriquement correcte tout en n’étant pas définie pour toutes les valeurs réelles.

Avec un dénominateur

Considérons f(u) = 1/u et g(x) = x² - 4. On obtient 1/(x² - 4). Le dénominateur ne doit pas être nul, donc x² - 4 ≠ 0, ce qui exclut x = -2 et x = 2.

Le domaine s’écrit ℝ privé de {-2 ; 2}. Cette méthode fonctionne aussi avec un logarithme, une racine au dénominateur ou toute autre expression soumise à une condition particulière.

Pourquoi l’ordre des fonctions change tout

La composition n’est généralement pas commutative. Autrement dit, f ∘ g ne donne pas forcément le même résultat que g ∘ f. C’est l’erreur que je rencontre le plus souvent dans les exercices, surtout lorsque les deux fonctions utilisent des expressions proches.

Avec f(x) = 2x + 1 et g(x) = x², on trouve d’un côté (f ∘ g)(x) = 2x² + 1. De l’autre, (g ∘ f)(x) = (2x + 1)². Les deux expressions sont différentes, car l’addition et la mise au carré ne sont pas appliquées dans le même ordre.

Une bonne habitude consiste à écrire le calcul intermédiaire avant de développer. Je note par exemple u = g(x), puis j’applique f à u. Cette étape prend quelques secondes et évite de perdre la logique de l’exercice dans un développement trop rapide.

Une lecture avec des machines

On peut imaginer deux machines placées l’une après l’autre. La première reçoit x et produit g(x). La seconde reçoit cette nouvelle valeur et produit f(g(x)). Si j’inverse les machines, le résultat change généralement.

Cette image est particulièrement utile pour comprendre les changements d’unités, les modèles physiques ou les programmes informatiques. Une conversion suivie d’un calcul n’est pas toujours équivalente au même calcul effectué avant la conversion.

Dériver une expression en appliquant la règle de la chaîne

Quand une fonction est formée de plusieurs couches, sa dérivée se calcule avec la règle de la chaîne. Il faut dériver la fonction extérieure en conservant l’intérieur, puis multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.

Si h(x) = f(g(x)), alors h'(x) = f'(g(x)) × g'(x). Le facteur g'(x) est indispensable. L’oublier revient à dériver seulement la dernière couche de l’expression.

Exemple avec un logarithme

Pour h(x) = ln(3x² + 1), la fonction extérieure est ln(u) et la fonction intérieure est u = 3x² + 1. La dérivée de ln(u) vaut 1/u, tandis que u'(x) = 6x.

On obtient donc h'(x) = 6x/(3x² + 1). Comme 3x² + 1 est toujours strictement positif, cette expression est définie sur ℝ.

Lire aussi : Table de multiplication de 9 - astuces et exercices

Exemple avec une puissance

Soit h(x) = (5x - 2)^4. La couche extérieure est u^4 et la couche intérieure est u = 5x - 2. La dérivée devient h'(x) = 4(5x - 2)^3 × 5, soit 20(5x - 2)^3.

Je conseille de ne pas développer avant de dériver. La forme factorisée montre immédiatement les deux fonctions et rend le calcul plus fiable.

Utiliser la composition pour étudier les variations

La composition aide aussi à comprendre le sens de variation d’une fonction. Si la fonction intérieure et la fonction extérieure sont toutes deux croissantes sur les intervalles concernés, leur composée est croissante. Si l’une est croissante et l’autre décroissante, le sens s’inverse.

Il faut toutefois vérifier les intervalles. La fonction extérieure peut changer de comportement selon la valeur de son argument, et cet argument est ici g(x), pas directement x. C’est une nuance qui explique plusieurs tableaux de variations incorrects.

Par exemple, avec h(x) = √(x² + 1), la fonction intérieure x² + 1 décroît sur ]-∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[. La racine carrée étant croissante, h possède le même découpage des variations et atteint son minimum en x = 0.

Les erreurs qui bloquent le plus souvent

La première erreur consiste à confondre f(g(x)) avec f(x)g(x). La première expression est une composition, tandis que la seconde est un produit. Les notations se ressemblent, mais les opérations n’ont rien à voir.

La deuxième erreur est d’inverser l’ordre. Dans (f ∘ g)(x), g agit avant f. Lire l’écriture de gauche à droite conduit souvent à une expression fausse, notamment avec les fonctions affines et les puissances.

La troisième erreur concerne le domaine. Résoudre uniquement les conditions visibles dans la formule ne suffit pas toujours. Il faut vérifier que la sortie de la fonction intérieure appartient bien au domaine autorisé pour la fonction extérieure.

• Oublier les parenthèses dans une puissance ou un dénominateur.
• Oublier le facteur intérieur lors d’une dérivation.
• Développer trop tôt et ne plus repérer les différentes couches.
• Supposer que les compositions s’échangent sans effectuer les deux calculs.
• Donner un domaine trop large sans contrôler les racines, logarithmes ou dénominateurs.

Pour vérifier un résultat, je teste souvent une valeur simple comme x = 0 ou x = 1, à condition qu’elle appartienne au domaine. Ce contrôle ne remplace pas la démonstration, mais il détecte rapidement une parenthèse oubliée ou un mauvais ordre d’application.

La méthode courte à retenir pour chaque exercice

Face à une expression imbriquée, je commence par entourer la partie intérieure. Je lui donne mentalement le nom u, puis je reconnais la fonction extérieure qui agit sur u. Cette lecture suffit généralement à choisir la bonne formule.

1. Identifier la couche intérieure.
2. Écrire la composition sans supprimer les parenthèses.
3. Déterminer le domaine de définition.
4. Calculer ou simplifier l’expression.
5. Pour une dérivée, multiplier par la dérivée de l’intérieur.
6. Contrôler le résultat avec une valeur admissible.

Cette méthode est plus solide qu’une mémorisation isolée de formules. Elle permet de traiter aussi bien une racine, un logarithme, une exponentielle qu’une puissance, car le raisonnement reste le même.

Le bon réflexe avant de passer à la ligne suivante

Une expression composée devient beaucoup plus simple dès que je la lis comme une suite d’actions. La question décisive est toujours la même : quelle fonction agit en premier, et quelles valeurs a-t-elle le droit de produire ?

En gardant cet ordre, en vérifiant le domaine et en appliquant correctement la règle de la chaîne, on évite l’essentiel des erreurs. La notation peut sembler abstraite au départ, mais elle décrit surtout un calcul en plusieurs étapes, exactement comme une procédure que l’on exécute avec méthode.