Une variable aléatoire peut compter des succès, des défauts ou des réponses correctes, mais son comportement devient beaucoup plus lisible dès que l’on connaît sa valeur moyenne attendue. Je présente ici la formule de l’espérance d’une loi binomiale, sa démonstration simple, des exemples concrets, ainsi que les erreurs à éviter lors d’un exercice.
La formule à retenir et les réflexes qui évitent les erreurs
- Espérance : si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = np.
- n représente le nombre d’épreuves répétées et p la probabilité d’un succès.
- L’espérance indique un nombre moyen attendu, pas un résultat obligatoirement observé.
- La formule suppose des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
- Pour mesurer la dispersion autour de la moyenne, il faut aussi connaître la variance np(1 - p).
La formule de l’espérance d’une loi binomiale
On note généralement X une variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de n répétitions indépendantes d’une même épreuve. Chaque épreuve ne possède que deux issues, succès ou échec, et la probabilité du succès reste égale à p. Dans ce cas, on écrit X suit la loi binomiale B(n, p).
L’espérance se calcule directement avec la formule suivante :
E(X) = n × p
Le résultat représente le nombre moyen de succès que l’on peut attendre sur un grand nombre de séries identiques. Il peut être décimal, même si X ne prend que des valeurs entières. Par exemple, une espérance égale à 4,2 ne signifie pas qu’une série donnera 4,2 succès, mais qu’une moyenne proche de 4,2 apparaîtra lorsque l’expérience sera répétée suffisamment souvent.
| Élément | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| n | Nombre d’épreuves | 20 tirs |
| p | Probabilité d’un succès à chaque épreuve | 0,3 |
| X | Nombre total de succès | Nombre de tirs réussis |
| E(X) | Nombre moyen de succès attendu | 20 × 0,3 = 6 |
Quand peut-on utiliser cette relation
La formule np est valable lorsque les essais sont de même nature, indépendants les uns des autres et associés à une probabilité de succès constante. Un lancer de pièce équilibrée répété 10 fois convient. En revanche, tirer plusieurs cartes sans remise dans un jeu modifie les probabilités à chaque tirage et ne correspond plus directement au modèle binomial.
Pourquoi l’espérance vaut simplement np
La démonstration devient intuitive si l’on décompose le nombre total de succès. Pour chaque épreuve, on définit une variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec. Son espérance est alors p, car la moyenne de cette variable vaut 1 avec une probabilité p et 0 avec une probabilité 1 - p.
Le nombre total de succès est la somme de ces n variables indicatrices. Or l’espérance est linéaire, ce qui signifie que l’espérance d’une somme est égale à la somme des espérances, même sans avoir besoin de recalculer toutes les probabilités possibles :
E(X) = p + p + ... + p = n × p
Cette approche est particulièrement utile pour comprendre la formule plutôt que de l’apprendre mécaniquement. Elle montre aussi que l’indépendance est indispensable pour définir la loi binomiale, mais qu’elle n’est pas nécessaire pour appliquer la linéarité de l’espérance à une somme de variables.
Un premier exemple rapide
Une question à choix multiple comporte 5 propositions, dont une seule est correcte. Une personne répond au hasard à 12 questions. La probabilité de réussite à chaque question est donc p = 1/5 = 0,2.
Si X désigne le nombre de bonnes réponses, alors X suit B(12, 0,2), et :
E(X) = 12 × 0,2 = 2,4
Sur une seule série, la personne peut obtenir 0, 1, 2, 3 bonnes réponses ou davantage. Sur un grand nombre de séries de 12 questions, la moyenne se rapprochera toutefois de 2,4 bonnes réponses. C’est précisément ce que l’espérance permet de mesurer.
Comment calculer l’espérance étape par étape
Dans un exercice, je conseille de ne pas commencer par la formule. Il faut d’abord identifier clairement ce que compte la variable aléatoire et vérifier que le modèle binomial est adapté.
- Définir X comme le nombre de succès recherchés.
- Repérer le nombre d’épreuves n.
- Déterminer la probabilité de succès p pour une épreuve.
- Écrire la loi X ~ B(n, p).
- Appliquer E(X) = np et interpréter le résultat avec une phrase.
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Exemple dans une production industrielle
Une usine fabrique des composants dont 3 % sont défectueux. On contrôle au hasard 200 composants, en supposant que les défauts peuvent être modélisés par des épreuves indépendantes. Si X désigne le nombre de composants défectueux, alors X ~ B(200, 0,03).
On obtient :
E(X) = 200 × 0,03 = 6
Le fabricant peut donc prévoir en moyenne 6 composants défectueux sur 200. Ce résultat ne garantit pas que chaque lot contiendra exactement six défauts. Un lot peut en contenir 3, 8 ou 10, car le hasard produit une fluctuation autour de la valeur moyenne.
Ce que l’espérance dit et ne dit pas
L’espérance donne un centre de gravité de la distribution, mais elle ne renseigne pas à elle seule sur la régularité des résultats. Deux situations peuvent avoir la même espérance tout en présentant des variations très différentes d’une série à l’autre.
Pour une loi binomiale, la variance vaut V(X) = np(1 - p). L’écart type, égal à la racine carrée de cette variance, donne une idée de l’écart habituel autour de l’espérance. Plus la variance est élevée, plus les résultats sont dispersés.
| Indicateur | Formule | Question à laquelle il répond |
|---|---|---|
| Espérance | np | Quel nombre moyen de succès attendre ? |
| Variance | np(1 - p) | À quel point les résultats varient-ils ? |
| Écart type | √(np(1 - p)) | Quelle fluctuation typique observer autour de la moyenne ? |
Dans l’exemple des 200 composants, la variance vaut 200 × 0,03 × 0,97 = 5,82, soit un écart type d’environ 2,41. L’espérance est de 6 défauts, mais des écarts de quelques unités restent donc parfaitement plausibles.
Les erreurs fréquentes dans les exercices
La plupart des erreurs ne viennent pas de la multiplication finale. Elles apparaissent plus tôt, au moment de choisir les paramètres ou d’interpréter la réponse.
- Confondre n et p : n est un nombre d’épreuves, tandis que p est une probabilité comprise entre 0 et 1.
- Utiliser un pourcentage sans le convertir : 3 % doit être écrit 0,03 dans le calcul, et non 3.
- Prendre l’espérance pour une probabilité : une valeur comme 4,5 est un nombre moyen de succès, pas une chance de 4,5 %.
- Oublier l’indépendance : des tirages sans remise ou des événements qui s’influencent ne suivent pas automatiquement une loi binomiale.
- Confondre espérance et probabilité exacte : E(X) = 6 ne signifie pas que P(X = 6) vaut 1.
Une autre confusion revient souvent dans les copies. Pour calculer la probabilité d’obtenir exactement k succès, on utilise la formule binomiale avec le coefficient \(\binom{n}{k}\). Pour calculer la moyenne attendue, cette formule détaillée n’est pas nécessaire : le produit np suffit.
Le bon réflexe pour interpréter une valeur moyenne
Retenir E(X) = np est utile, mais savoir expliquer le résultat l’est encore davantage. Après le calcul, je formule toujours une phrase précisant qu’il s’agit d’un nombre moyen de succès observé sur un grand nombre de répétitions comparables.
Il faut aussi vérifier les hypothèses du modèle. Si les épreuves ne sont pas identiques, si la probabilité change ou si les résultats sont liés, la formule peut devenir inadaptée, même si la multiplication paraît simple.
En pratique, l’espérance répond à une question de prévision moyenne. Pour estimer ce qui peut réellement se produire autour de cette moyenne, on la complète avec la variance ou l’écart type. Ce duo fournit une lecture beaucoup plus solide d’une distribution binomiale.
