Dérivée de ln x - formule, domaine et exemples

Une erreur de signe ou un domaine oublié suffit à fausser tout un exercice sur le logarithme népérien. Ce guide explique clairement la formule de la dérivée de ln x, les conditions à respecter, la méthode pour dériver ln(u(x)) et plusieurs exemples typiques du lycée et du début de l’enseignement supérieur.

La formule de base et son domaine de validité

La dérivée de ln x est 1/x, mais cette égalité ne vaut que pour x > 0. Le logarithme népérien est défini sur l’intervalle ]0 ; +∞[ : écrire la formule sans préciser ce domaine peut donner une réponse incomplète.

On peut retrouver cette formule grâce au lien entre le logarithme et l’exponentielle. Si y = ln(x), alors x = e^y. En dérivant cette relation, on obtient 1 = e^yy', puis e^y = x, d’où y' = 1/x.

La fonction est donc dérivable pour tout réel strictement positif. Sa dérivée est toujours positive, ce qui explique que la courbe de ln monte constamment, même si elle progresse de moins en moins vite lorsque x devient grand.

Dériver ln d’une fonction avec la règle de composition

Dans les exercices, l’expression ne se limite pas toujours à ln(x). Pour une fonction f(x) = ln(u(x)), il faut dériver l’intérieur u(x), puis diviser par cette même expression :

f'(x) = u'(x) / u(x)

Cette règle s’applique sur les intervalles où u(x) > 0. Je conseille toujours de commencer par cette vérification, avant même de chercher la dérivée. Elle évite de travailler sur une portion de courbe où la fonction n’existe pas.

Une méthode en trois mouvements

1. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles u(x) > 0.
2. Calculer la dérivée intérieure u'(x).
3. Écrire le quotient u'(x)/u(x) et simplifier si possible.

Cette méthode fonctionne aussi bien avec un polynôme qu’avec une fraction, une racine ou une expression exponentielle. La seule vraie condition est que l’argument du logarithme soit positif sur l’intervalle étudié.

Des exemples pour appliquer la règle sans hésiter

Une expression affine

Soit f(x) = ln(3x + 2). L’argument doit vérifier 3x + 2 > 0, donc le domaine est ]−2/3 ; +∞[. Comme u'(x) = 3, on trouve :

f'(x) = 3/(3x + 2)

Le facteur 3 devant x ne disparaît donc pas. C’est une erreur classique de recopier simplement 1/(3x + 2) en oubliant la dérivée de l’intérieur.

Un carré à l’intérieur du logarithme

Pour f(x) = ln(x² + 1), l’expression x² + 1 est toujours strictement positive. Le domaine est donc ℝ entier, et :

f'(x) = 2x/(x² + 1)

Cet exemple montre qu’un logarithme peut être défini pour tout réel, même si son argument dépend de x. Il suffit que cet argument reste positif, ce qui est le cas ici grâce au terme +1.

Le cas de ln(x2)

La fonction ln(x²) n’est pas définie en x = 0, car ln(0) n’existe pas. Son domaine est ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[, et sa dérivée vaut :

f'(x) = 2x/x² = 2/x

On peut aussi écrire ln(x²) = 2 ln|x| pour x différent de 0. La valeur absolue devient nécessaire dès que x peut être négatif. En revanche, remplacer directement ln(x²) par 2 ln(x) serait faux sur ]−∞ ; 0[.

Un produit avec un logarithme

Pour f(x) = x ln(x), le produit demande la règle de dérivation correspondante. Sur ]0 ; +∞[, on obtient :

f'(x) = ln(x) + 1

Le premier terme vient de la dérivée de x, tandis que le second provient de x × 1/x. Cet exemple revient souvent dans les études de fonctions et dans les calculs de primitives ou d’optimisation.

Ce que la dérivée révèle sur la courbe de ln

Comme 1/x est strictement positif pour x > 0, le logarithme népérien est strictement croissant sur son domaine. Plus x augmente, plus ln(x) augmente, mais la pente devient faible : la dérivée tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.

La dérivée seconde apporte une information supplémentaire :

(ln x)'' = −1/x²

Elle est négative sur ]0 ; +∞[, donc la courbe est concave. Concrètement, les accroissements du logarithme diminuent. Passer de 1 à 2 produit une hausse plus importante que passer de 100 à 101, alors que ces deux écarts valent pourtant 1.

Lire aussi : Comment calculer un produit matriciel sans se tromper ?

Quelques valeurs utiles

Les erreurs qui reviennent le plus souvent

La première consiste à oublier le domaine de définition. Une expression comme ln(2 − x) impose x < 2, tandis que ln(x − 2) impose x > 2. La dérivée peut être algébriquement correcte, mais l’étude reste fausse si l’intervalle n’est pas précisé.

La deuxième erreur est de confondre la dérivée de ln(u) avec celle de ln(x). Pour ln(5x − 1), le résultat est 5/(5x − 1), pas 1/(5x − 1). Le numérateur rappelle que l’on doit dériver l’argument.

Enfin, il faut distinguer ln(x) de ln|x|. La première expression n’existe que pour x > 0, alors que la seconde est définie pour x différent de 0 et possède dans les deux intervalles la dérivée 1/x.

Une formule voisine pour les logarithmes d’une autre base

Si le logarithme est écrit dans une base a, avec a > 0 et a différent de 1, on utilise la relation log_a(x) = ln(x)/ln(a). Sa dérivée devient :

(log_a x)' = 1/(x ln(a))

Le logarithme décimal, noté log ou log₁₀ selon les conventions, n’a donc pas exactement la même dérivée que ln. En pratique scolaire, la notation ln désigne toujours le logarithme de base e, tandis que la base 10 doit être indiquée ou déduite du contexte.

Le réflexe qui sécurise presque tous les exercices

Pour retenir l’essentiel, je garde une règle très simple : devant ln(u), je vérifie d’abord que u est positif, puis je calcule u' et je forme le quotient u'/u. Cette routine suffit pour traiter les expressions usuelles et permet de repérer immédiatement les réponses impossibles.

La formule de base reste donc (ln x)' = 1/x pour x > 0. Une fois le domaine et la composition maîtrisés, les logarithmes deviennent beaucoup moins intimidants, y compris dans les études de variations, les équations et les problèmes d’optimisation.