La règle essentielle tient en une ligne
- Formule de base : si f(x) = xn, alors f′(x) = n × xn−1.
- Fonction composée : pour u(x)n, il faut multiplier par la dérivée u′(x).
- Exposant négatif : la règle reste valable, mais x ne doit généralement pas être nul.
- Exposant fractionnaire : il faut vérifier le domaine de définition avant de dériver.
- Réflexe utile : on descend l’exposant, puis on diminue sa valeur de 1.
La formule de dérivation d’une puissance à retenir
Pour une fonction de la forme f(x) = xn, où n est un nombre réel dans un domaine où la fonction est définie, la dérivée est :
f′(x) = n × xn−1
La méthode est simple. Je prends l’exposant, je le place devant la puissance, puis je lui retire 1. Par exemple, avec f(x) = x6, l’exposant 6 devient un coefficient et la nouvelle puissance est 6 − 1 = 5. On obtient donc f′(x) = 6x5.
| Fonction | Dérivée | Réflexe appliqué |
|---|---|---|
| x4 | 4x3 | 4 devant, exposant diminué de 1 |
| x2 | 2x | 2x1 devient 2x |
| x | 1 | x = x1, donc 1x0 = 1 |
| 7 | 0 | Une constante a une dérivée nulle |
Cette règle fonctionne aussi avec un coefficient constant. Ainsi, si f(x) = 5x3, le nombre 5 reste en place et seule la puissance est dérivée. Le résultat est f′(x) = 5 × 3x2 = 15x2.
Appliquer la règle sur des exemples simples
Une puissance entière positive
Considérons f(x) = x5 − 3x2 + 4x − 8. On dérive chaque terme séparément, car la dérivée d’une somme est la somme des dérivées :
f′(x) = 5x4 − 6x + 4
Le terme constant −8 disparaît. C’est un point que je vérifie toujours dans les exercices, car il est facile de le conserver par automatisme alors qu’il ne varie pas avec x.
Une puissance avec un coefficient
Pour g(x) = −2x7, l’exposant 7 descend devant la puissance et le coefficient −2 reste présent :
g′(x) = −2 × 7x6 = −14x6
Le signe moins ne change donc pas. Une erreur fréquente consiste à écrire −2x6 en oubliant de multiplier par 7.
Une puissance négative
La règle s’applique également à h(x) = x−3 :
h′(x) = −3x−4
On peut aussi réécrire le résultat sous la forme −3/x4. La fonction n’est toutefois pas définie en x = 0, et sa dérivée ne l’est pas davantage à cet endroit.
Une puissance fractionnaire
Une racine carrée peut s’écrire comme une puissance : √x = x1/2. La formule donne alors :
(√x)′ = 1/2 × x−1/2 = 1/(2√x)
Cette expression est valable pour x > 0. La racine carrée est bien définie en 0, mais sa dérivée n’y possède pas une valeur finie. Cette distinction entre domaine de définition et domaine de dérivabilité est importante.Quand la puissance porte sur une fonction
Le calcul change légèrement lorsque la base n’est plus x, mais une fonction u(x). Pour f(x) = [u(x)]n, on utilise la règle de la chaîne :
f′(x) = n[u(x)]n−1 × u′(x)
Le facteur u′(x) est indispensable. Il traduit le fait que la base elle-même varie avec x. Dans la pratique, c’est l’oubli de ce facteur qui provoque le plus d’erreurs.
Exemple avec une expression affine
Soit f(x) = (3x + 2)4. La fonction extérieure est la puissance quatrième et la fonction intérieure est u(x) = 3x + 2, dont la dérivée vaut 3.
f′(x) = 4(3x + 2)3 × 3 = 12(3x + 2)3
Il n’est pas nécessaire de développer le cube. Garder la forme factorisée rend souvent le résultat plus lisible et limite les erreurs de calcul.
Lire aussi : Comment simplifier une fraction et la rendre irréductible
Exemple avec une puissance et une fonction polynomiale
Pour g(x) = (x2 − 5x + 1)3, on pose u(x) = x2 − 5x + 1. Comme u′(x) = 2x − 5, on obtient :
g′(x) = 3(x2 − 5x + 1)2(2x − 5)
Je conseille de ne développer que si l’énoncé le demande. La forme obtenue montre immédiatement les facteurs et facilite l’étude du signe de la dérivée.
Les exposants négatifs, fractionnaires et les conditions de validité
La formule reste la même pour un exposant réel, mais les conditions de définition peuvent changer. Pour xα avec α réel, le calcul est généralement étudié sur x > 0. Les puissances entières positives offrent un domaine plus large, souvent l’ensemble des nombres réels.
- Pour f(x) = x−2, la fonction est définie pour x ≠ 0 et f′(x) = −2x−3.
- Pour f(x) = x1/3, la fonction existe sur ℝ, mais sa dérivée 1/(3x2/3) n’est pas définie en 0.
- Pour f(x) = x3/2, on travaille généralement sur x ≥ 0, avec une dérivée classique sur x > 0.
- Pour f(x) = x0, la fonction vaut 1 là où elle est définie, donc sa dérivée est nulle.
Le bon réflexe consiste à ne pas appliquer mécaniquement la formule avant d’avoir regardé où la fonction existe. Une expression peut avoir une formule de dérivée correcte tout en étant inutilisable en un point particulier.
Les erreurs qui font perdre des points
La règle paraît courte, mais plusieurs confusions reviennent régulièrement dans les copies. Les repérer permet de gagner du temps sans refaire tout le calcul.
- Oublier de diminuer l’exposant : la dérivée de xn n’est pas nxn, mais nxn−1.
- Confondre puissance et produit : x2 signifie x × x, tandis que 2x signifie 2 × x. Leurs dérivées sont respectivement 2x et 2.
- Oublier la dérivée de la base : pour (5x − 1)4, le facteur 5 doit apparaître.
- Dériver une constante : un nombre seul, comme 9 ou −12, donne toujours 0.
- Ignorer le domaine : les puissances négatives et certaines racines excluent x = 0 ou les nombres négatifs.
- Développer trop tôt : conserver une puissance composée réduit souvent le risque d’erreur.
Une autre faute classique concerne les parenthèses. La dérivée de (x + 1)2 est 2(x + 1), tandis que celle de x + 12, interprétée comme x + 1, vaut 1. Les parenthèses ne sont donc pas décoratives.
Une méthode rapide pour contrôler son résultat
Pour éviter les erreurs de signe ou d’exposant, j’utilise une vérification en trois temps. Elle prend moins d’une minute sur un exercice standard.- Identifier la base et l’exposant. Dans (2x − 3)5, la base est 2x − 3 et l’exposant est 5.
- Appliquer la puissance. On écrit 5(2x − 3)4.
- Multiplier par la dérivée intérieure. Comme (2x − 3)′ = 2, le résultat devient 10(2x − 3)4.
On peut aussi faire un contrôle intuitif. Si f(x) = x4, sa dérivée doit être positive pour x positif et avoir un degré inférieur d’une unité. Un résultat en x4 ou avec un signe négatif constant devrait donc immédiatement éveiller les soupçons.
Le réflexe à conserver pour les prochains exercices
Pour une puissance simple, retenez « l’exposant descend et perd une unité ». Pour une puissance composée, ajoutez aussitôt la dérivée de la base. Cette combinaison suffit à traiter la majorité des fonctions rencontrées au lycée et dans les premiers cours d’analyse.
La formule est puissante, mais elle ne dispense pas de vérifier le domaine, les parenthèses et les constantes. C’est cette courte vérification finale, plus que la mémorisation seule, qui transforme un calcul rapide en résultat fiable.
