![La formule d'intégration par partie : ∫[a,b] u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_[a,b] - ∫[a,b] u(x)v'(x)dx.](https://cdn.demarchijp.fr/unsafe/rs:fill:1280:640/q:75/plain/blog-assets/thumbnail/234e5ae0561eb600d6321ca347326019/integration-par-parties-formule-methode-et-exemples.webp)
Un produit comme x ex, x cos x ou ln x ne se laisse pas toujours intégrer directement. La formule d’intégration par parties permet de transformer ce type d’intégrale en choisissant une fonction à dériver et une autre à intégrer. Je présente ici la règle, la méthode de choix, plusieurs exemples détaillés, les intégrales définies et les erreurs qui font perdre le fil du calcul.
L’essentiel à retenir pour appliquer cette méthode
- Formule : ∫ u dv = uv - ∫ v du.
- Origine : elle découle directement de la dérivée d’un produit.
- Choix efficace : on dérive généralement le logarithme ou le polynôme, et on intègre l’exponentielle ou la fonction trigonométrique.
- Intégrale définie : ∫ab u dv = [uv]ab - ∫ab v du.
- Contrôle final : il faut toujours dériver le résultat obtenu pour vérifier le calcul.
La formule d’intégration par parties expliquée simplement
La règle s’écrit généralement ainsi, pour deux fonctions suffisamment régulières :
∫ u(x) v′(x) dx = u(x)v(x) - ∫ u′(x)v(x) dx
On utilise aussi l’écriture différentielle, souvent plus pratique dans les exercices :
∫ u dv = uv - ∫ v du
L’idée est simple. On transforme une intégrale difficile en une autre intégrale qui doit être plus facile à calculer. La méthode ne fait donc pas disparaître le travail mathématique, elle déplace la difficulté vers une forme plus exploitable.
Pour une intégrale définie entre a et b, les bornes restent présentes :
∫ab u(x)v′(x) dx = [u(x)v(x)]ab - ∫ab u′(x)v(x) dx
La notation [uv]ab signifie que l’on calcule la valeur de uv en b, puis que l’on soustrait sa valeur en a. C’est une source classique d’erreurs, surtout lorsque les bornes sont remplacées trop rapidement.
Pourquoi cette règle fonctionne
Tout part de la dérivation d’un produit. Pour deux fonctions u et v, on a :
(uv)′ = u′v + uv′
En intégrant cette égalité, on obtient une relation entre l’intégrale de uv′ et celle de u′v. Il suffit ensuite d’isoler le terme recherché pour retrouver la formule d’intégration par parties.
Cette origine explique aussi le sens de la méthode. On choisit une fonction qui devient plus simple lorsqu’on la dérive, puis une autre dont on connaît facilement une primitive. Le bon choix réduit la complexité au lieu de la déplacer inutilement.
Dans la pratique, je conseille de ne pas mémoriser la formule comme une suite de symboles isolés. Il faut plutôt retenir le mouvement suivant : on intègre un facteur, on dérive l’autre, puis on soustrait la nouvelle intégrale.
Comment choisir u et dv sans se tromper
La difficulté principale n’est généralement pas la formule, mais le choix des deux éléments. Dans une intégrale de produit, on cherche à écrire l’expression sous la forme u × dv. Le facteur choisi comme u sera dérivé, tandis que dv sera intégré pour donner v.
Une règle pratique souvent utilisée est l’ordre LIATE, qui donne une priorité approximative au choix de u :
- L pour logarithmique, comme ln x
- I pour inverse ou fonction réciproque, comme arctan x
- A pour algébrique, comme x ou x2
- T pour trigonométrique, comme sin x
- E pour exponentielle, comme ex
Ce classement n’est pas une loi absolue. Il sert surtout de point de départ. Une fonction logarithmique devient souvent plus simple après dérivation, alors que l’exponentielle reste presque inchangée lorsqu’on la dérive ou qu’on l’intègre. Le résultat est donc généralement meilleur en posant u = ln x et dv = dx.
| Intégrale | Choix conseillé | Pourquoi |
|---|---|---|
| ∫ x ex dx | u = x, dv = ex dx | La dérivée de x devient 1. |
| ∫ x cos x dx | u = x, dv = cos x dx | Le polynôme se simplifie après dérivation. |
| ∫ ln x dx | u = ln x, dv = dx | La primitive de 1 est immédiate. |
| ∫ ex sin x dx | Deux intégrations successives | La dérivation et l’intégration conservent les mêmes familles de fonctions. |
Trois exemples qui montrent vraiment la méthode
Avec un polynôme et une exponentielle
Calculons ∫ x ex dx. Je choisis u = x et dv = ex dx. On obtient donc du = dx et v = ex.
La formule donne :
∫ x ex dx = x ex - ∫ ex dx
La primitive restante est immédiate, d’où :
∫ x ex dx = ex(x - 1) + C
La constante C est indispensable dans une intégrale indéfinie. Pour vérifier le résultat, on dérive ex(x - 1) et on retrouve bien x ex.
Avec une fonction logarithmique
La présence de ln x peut donner l’impression qu’il faut chercher une substitution compliquée. Ici, le choix le plus direct est u = ln x et dv = dx. Alors du = dx/x et v = x.
On obtient :
∫ ln x dx = x ln x - ∫ x × 1/x dx
Le produit au second membre se simplifie en 1. La primitive est donc :
∫ ln x dx = x ln x - x + C
Cette méthode vaut pour x > 0 dans cette forme. Pour traiter ln|x| sur un intervalle où x ne s’annule pas, on peut adapter l’écriture, mais il faut respecter le domaine de définition.
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Avec une fonction trigonométrique
Pour ∫ x cos x dx, posons u = x et dv = cos x dx. Ainsi, du = dx et v = sin x.
La transformation devient :
∫ x cos x dx = x sin x - ∫ sin x dx
Comme une primitive de sin x est -cos x, le résultat final est :
∫ x cos x dx = x sin x + cos x + C
Le signe plus devant cos x mérite une attention particulière. Il vient du fait que la formule contient une soustraction et que la primitive de sin x est négative. C’est précisément le genre de détail que je vérifie systématiquement en dérivant le résultat.
Le cas des intégrations par parties répétées
Certaines intégrales ne sont pas terminées après une seule application. C’est notamment le cas de ∫ ex sin x dx. En posant u = sin x et dv = ex dx, on fait apparaître une seconde intégrale contenant ex cos x.
Notons I = ∫ ex sin x dx. Une première intégration donne :
I = ex sin x - ∫ ex cos x dx
En appliquant encore la méthode à la nouvelle intégrale, on obtient :
∫ ex cos x dx = ex cos x + ∫ ex sin x dx
La quantité I réapparaît. On peut donc la remplacer dans la première égalité et la résoudre comme une équation :
I = ½ ex(sin x - cos x) + C
Ce procédé peut sembler circulaire, mais il est parfaitement logique. La deuxième intégration ramène l’intégrale initiale, ce qui permet de regrouper les termes identiques et de les isoler.
Les erreurs fréquentes et les limites de la méthode
La première erreur consiste à choisir les deux facteurs sans vérifier la nouvelle intégrale. Une intégration par parties est utile seulement si le terme obtenu est plus simple ou si sa forme permet de recommencer efficacement. Sinon, une substitution ou une identité trigonométrique peut être préférable.
- Oublier le signe moins devant l’intégrale transformée.
- Confondre dv et v : v est une primitive de dv, pas sa dérivée.
- Oublier la constante C dans une primitive.
- Mal appliquer les bornes dans une intégrale définie.
- Dériver le mauvais facteur, ce qui rend le calcul plus long.
- Négliger le domaine, notamment avec ln x, 1/x ou les intégrales impropres.
La méthode possède aussi des limites. Elle ne fournit pas toujours une primitive élémentaire, et certaines intégrales exigent plusieurs techniques combinées. Pour une intégrale impropre, il faut en plus vérifier la convergence avant de manipuler les termes comme si les bornes étaient ordinaires.
Mon conseil est très concret. Après chaque calcul un peu long, je fais une vérification par dérivation ou par évaluation numérique approximative. Cette étape prend rarement plus d’une minute et permet de repérer un signe faux bien plus vite qu’une relecture passive.
Le réflexe à garder pour vos prochains exercices
Devant un produit de fonctions, commencez par identifier celle qui se simplifie lorsqu’on la dérive et celle dont la primitive est connue. Écrivez ensuite clairement u, du, dv et v avant de remplacer dans la formule.
Une intégration par parties bien choisie doit produire une intégrale plus simple, ou une intégrale que l’on peut traiter une nouvelle fois de manière contrôlée. Si le résultat devient plus compliqué, ce n’est pas forcément une faute de calcul, mais c’est souvent le signe qu’un autre choix ou une autre méthode serait plus adapté.
Avec ce raisonnement, la règle cesse d’être une formule à réciter. Elle devient un outil de transformation, particulièrement efficace pour les produits associant polynômes, logarithmes, exponentielles et fonctions trigonométriques.
